1993 年考研数学（一） 第 20 题

追踪问题的两条物理信息各管一件事：方向指向 $A$ 给出一阶斜率方程，速率大小给出弧微分关系。斜率方程里混着时间 $t$，对 $x$ 求导可把含 $t$ 的项转成 $\frac{dt}{dx}$；再由 $2v=\frac{ds}{dt}$ 解出 $\frac{dt}{dx}$ 代入，$t$ 被消去，剩下纯 $x,y$ 的二阶方程。初始条件由出发点与初始指向 $A$ 的斜率读出。

分析：设时刻 $t$ 物体 $B$ 位于点 $(x,y)$，此时 $A$ 位于 $(0,1+vt)$。由 $B$ 的速度方向始终指向 $A$ 得轨迹斜率的关系式，再对 $x$ 求导并利用 $B$ 的速率为 $2v$ 消去 $t$。

设时刻 $t$ 物体 $B$ 位于点 $(x,y)$，$A$ 位于 $(0,1+vt)$。$B$ 的速度方向指向 $A$，故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+vt)-y}{-x}.(\ast )$$
上式两边对 $x$ 求导，得 $x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-v\frac{dt}{dx}$。

又 $B$ 的速率为 $2v$，即 $2v=\frac{ds}{dt}=\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}\cdot \frac{dx}{dt}$，故 $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2v}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$。代入上式得所求微分方程
$$x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=0.$$

初始条件：$B$ 从 $(-1,0)$ 出发，故 $y{|}_{x=-1}=0$；出发时速度方向指向 $A(0,1)$，斜率为 $\frac{1-0}{0-(-1)}=1$，故 $y^{\prime }{|}_{x=-1}=1$。