1993 年考研数学（一）第 21 题

填空题 · 3 分

一批产品共有

10

个正品和

2

个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的产品是次品的概率为 ___.

提示 1

提示①：第二次的结果依赖第一次，按第一次抽到正品/次品把情况分成两类。

提示 2

提示②：分别写出每类的概率与该类下第二次为次品的条件概率。

提示 3

提示③：用全概率公式加权求和；也可用「抽签公平性」直觉验证答案。

答案与详解

答案 $\frac{1}{6}$

思路（为什么这么做）

第二次抽取的概率依赖第一次，是全概率公式的经典场景：按第一次的两种互斥结果完备划分，再加权求和。写出

P (A_{1}), P (A_{2})

与相应条件概率相乘即可。顺带地，抽签原理指出答案应等于次品比例

\frac{2}{12} = \frac{1}{6}

，可用来自检。

解答

分析：按第一次抽出正品或次品分类，用全概率公式。

设

A_{1} = {

第一次取到正品

}

，

A_{2} = {

第一次取到次品

}

，

B = {

第二次取到次品

}

。则

P (A_{1}) = \frac{10}{12}, P (A_{2}) = \frac{2}{12}, P (B ∣ A_{1}) = \frac{2}{11}, P (B ∣ A_{2}) = \frac{1}{11}

。

由全概率公式

P (B) = P (A_{1}) P (B ∣ A_{1}) + P (A_{2}) P (B ∣ A_{2}) = \frac{10}{12} \times \frac{2}{11} + \frac{2}{12} \times \frac{1}{11} = \frac{22}{132} = \frac{1}{6} .

1993 年考研数学（一） 第 21 题