1993 年考研数学（一） 第 22 题

一维随机变量函数分布的万能法是「分布函数法」：先算 $F_Y(y)=P\{X^2\le y\}$ 再求导。这里 $X$ 只取正值，故 $X^2\le y$ 简化为 $0\le X\le \sqrt{y}$，避免了 $\pm \sqrt{y}$ 两支的麻烦。把概率写成积分、再对上限 $y$ 求导，密度自然带出因子 $\frac{1}{2\sqrt{y}}$。

分析：用分布函数法。$X$ 的密度为 $f_X(x)=\frac{1}{2}(0<x<2)$，$Y=X^2\in (0,4)$。

对 $0\le y<4$，
$$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X^2\le y\}=P\{0\le X\le \sqrt{y}\}={\int }_0^{\sqrt{y}}\frac{1}{2}dx=\frac{\sqrt{y}}{2}.$$

求导得
$$f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4\sqrt{y}},& 0<y<4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$