1993 年考研数学（一） 第 23 题

密度是偶函数，这是简化一切期望计算的钥匙：凡被积函数为奇（如 $xf$、$x|x|f$）积分即 $0$，立得 $E(X)=0$、$\mathrm{Cov}(X,|X|)=0$，即不相关。但「不相关」不等于「独立」：$X$ 与 $|X|$ 显然强相依，需用定义在某点戳穿——取 $x=y=1$ 验证联合分布函数不等于边缘之积，即证不独立。

分析：利用被积函数的奇偶性简化期望的计算，再用协方差与独立性的定义判断。

（1） 因 $xf(x)$ 为奇函数，$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=0$。又
$$E(X^2)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx={\int }_0^{+\infty }{x}^2{e}^{-x}dx=\Gamma (3)=2,$$
故 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=2$。

（2） $\mathrm{Cov}(X,|X|)=E(X|X|)-E(X)\cdot E(|X|)$。因 $x|x|f(x)$ 为奇函数，$E(X|X|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x|x|\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx=0$，又 $E(X)=0$，故 $\mathrm{Cov}(X,|X|)=0$，即 $X$ 与 $|X|$ 不相关。

（3） 设 $F(x,y)$ 为 $(X,|X|)$ 的联合分布函数。取 $x=y=1$：
$$F(1,1)=P\{X\le 1,|X|\le 1\}=P\{-1\le X\le 1\}={\int }_0^1{e}^{-x}dx=1-\frac{1}{e},$$
而边缘分布 $F_X(1)=P\{X\le 1\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{-x}dx=1-\frac{1}{2e}$，$F_{|X|}(1)=P\{|X|\le 1\}={\int }_0^1{e}^{-x}dx=1-\frac{1}{e}$。

因为 $F(1,1)=1-\frac{1}{e}\ne F_X(1)\cdot F_{|X|}(1)=\left(1-\frac{1}{2e}\right)\left(1-\frac{1}{e}\right)$，所以 $X$ 与 $|X|$ 不相互独立。（这说明“不相关”不能推出“独立”。）