1991 年考研数学（一） 第 17 题

「向量能否由一组向量线性表示」要立刻翻译成非齐次线性方程组的相容性问题，用秩判定：$r(\mathbf{A})\ne r(\overline{\mathbf{A}})$ 无解（不可表示），$r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=n$ 唯一解（唯一表示）。做法是把 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 排成列作行变换，让参数 $a,b$ 落到阶梯形末行，一眼看出各情形对应的 $a,b$；唯一解时再回代解出组合系数。

分析：设 $x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+x_3{\mathbf{\alpha }}_3+x_4{\mathbf{\alpha }}_4=\mathbf{\beta }$，对增广矩阵作初等行变换，按秩讨论解的情况。

$({\mathbf{\alpha }}_1^T,{\mathbf{\alpha }}_2^T,{\mathbf{\alpha }}_3^T,{\mathbf{\alpha }}_4^T\mid {\mathbf{\beta }}^T)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 2& 1\\ 2& 3& a+2& 4& b+3\\ 3& 5& 1& a+8& 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 2& 1\\ 0& 0& a+1& 0& b\\ 0& 0& 0& a+1& 0\end{array}\right).$

(1) 当 $a=-1$ 且 $b\ne 0$ 时，第三行为 $(0,0,0,0\mid b)$，$r(\mathbf{A})=2\ne r(\overline{\mathbf{A}})=3$，方程组无解，即 $\mathbf{\beta }$ 不可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性表示。

(2) 当 $a\ne -1$ 时，$r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=4$，方程组有唯一解。回代得 $x_4=0,x_3=\frac{b}{a+1},x_2=\frac{a+b+1}{a+1},x_1=-\frac{2b}{a+1}$，故 $\mathbf{\beta }$ 可唯一线性表示，且
$$\mathbf{\beta }=-\frac{2b}{a+1}{\mathbf{\alpha }}_1+\frac{a+b+1}{a+1}{\mathbf{\alpha }}_2+\frac{b}{a+1}{\mathbf{\alpha }}_3+0\cdot {\mathbf{\alpha }}_4.$$