1991 年考研数学（一） 第 16 题

看到「证明存在一点使导数为零」立刻想罗尔定理，缺的只是「两端点函数值相等」。条件里的定积分正好用积分中值定理转成一个点值 $f(x_0)$（注意区间长 $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ 与系数 $3$ 抵消），于是 $f(x_0)=f(0)$。有了这对相等值，在 $[0,x_0]$ 上罗尔定理直接给出 $f^{\prime }(c)=0$。核心是「积分条件 $\to$ 点值相等」这一步翻译。

分析：先用积分中值定理把左端化为某点的函数值，得到两点函数值相等，再对该区间用罗尔定理。

由积分中值定理，存在 $x_0\in [\frac{2}{3},1]$，使 ${\int }_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=f(x_0)(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}f(x_0)$，从而 $3{\int }_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=f(x_0)$。

结合题设 $3{\int }_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=f(0)$，得 $f(x_0)=f(0)$。

$f(x)$ 在 $[0,x_0]$ 上连续、在 $(0,x_0)$ 内可导，且 $f(0)=f(x_0)$，由罗尔定理，存在 $c\in (0,x_0)\subset (0,1)$，使 $f^{\prime }(c)=0$。证毕。