1991 年考研数学（一） 第 15 题

展开成傅里叶级数先判奇偶——偶函数省掉所有 $b_n$，工作量减半。算完系数得到只含 $\cos (2k+1)\pi x$ 的级数后，「求数项级数和」的套路是代一个特殊点让余弦取到 $\pm 1$（如 $x=0$），先得到奇数项的平方和。再借 $\sum \frac{1}{n^2}={\sum }_{\text{奇}}+{\sum }_{\text{偶}}$ 且偶项和 $=\frac{1}{4}\sum \frac{1}{n^2}$，解一个关于 $\sum \frac{1}{n^2}$ 的方程即可。

分析：$f(x)$ 为偶函数，展开式中只含余弦项（$b_n=0$）。周期 $2l=2$，即 $l=1$。

$a_0=2{\int }_0^1(2+x)dx=2(2+\frac{1}{2})=5$。

$a_n=2{\int }_0^1(2+x)\cos n\pi xdx=2{\int }_0^{1}x\cos n\pi xdx$（因 ${\int }_0^1\cos n\pi xdx=0$）$=\frac{2[(-1{)}^n-1]}{n^2{\pi }^2}=\{\begin{array}{ll}-\frac{4}{n^2{\pi }^2},& n\text{为奇数},\\ 0,& n\text{为偶数}.\end{array}$ 且 $b_n=0$。

由于 $f$ 的周期延拓处处连续，故
$$2+|x|=\frac{5}{2}-\frac{4}{{\pi }^2}(\frac{1}{1^2}\cos \pi x+\frac{1}{3^2}\cos 3\pi x+\cdots ),-\infty <x<+\infty .$$

取 $x=0$：$2=\frac{5}{2}-\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n+1{)}^2}$，解得 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n+1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$。

记 $S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$，把奇、偶项分开：$S=\sum _{k\text{奇}}\frac{1}{k^2}+\sum _{k\text{偶}}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{8}+\frac{1}{4}S$，解得 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。