1991 年考研数学（一） 第 14 题

这道题不是「积分与路径无关」那一类（可先验证 $\frac{\partial P}{\partial y}\ne \frac{\partial Q}{\partial x}$），而是「在一族路径里挑最优」。既然路径由单参数 $a$ 决定，就把线积分老实算成 $I(a)$，问题随即降为一元函数求极值：$I^{\prime }(a)=0$ 定 $a$、$I^{\prime \prime }>0$ 确认最小。关键转化是「曲线积分 $\to$ 关于 $a$ 的函数」。

分析：把曲线积分沿 $y=a\sin x$ 化为参数 $a$ 的函数 $I(a)$，再对 $a$ 求最小值点。

在 $L:y=a\sin x$ 上，$dy=a\cos xdx$，$x$ 从 $0$ 到 $\pi$，
$$I(a)={\int }_0^{\pi }[(1+a^3{\sin }^{3}x)+(2x+a\sin x)a\cos x]dx.$$

逐项积分：${\int }_0^{\pi }dx=\pi$；$a^3{\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}xdx=a^3\cdot \frac{4}{3}$；$2a{\int }_0^{\pi }xd(\sin x)=2a(x\sin x{|}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\sin xdx)=-4a$；$a^2{\int }_0^{\pi }\sin xd(\sin x)=0$。故 $I(a)=\pi +\frac{4}{3}{a}^3-4a$。

令 $I^{\prime }(a)=4a^2-4=0$，由 $a>0$ 得 $a=1$；又 $I^{\prime \prime }(a)=8a$，$I^{\prime \prime }(1)=8>0$，故 $a=1$ 时积分取最小值。

所求曲线为 $y=\sin x$，此时积分的最小值为 $I(1)=\pi +\frac{4}{3}-4=\pi -\frac{8}{3}$。