1991 年考研数学（一） 第 13 题

见到「绕 $z$ 轴旋转」先写旋转曲面方程（把平面曲线里到轴的距离换成 $\sqrt{x^2+y^2}$），这里得抛物面 $x^2+y^2=2z$。区域关于 $z$ 轴回转对称、被积含 $x^2+y^2$，柱面坐标是不二之选：$x^2+y^2=r^2$、$dv=rdrd\theta dz$，把三重积分化成一层层好算的定积分。选定先积谁只看哪种截面描述更简单。

分析：先写出旋转曲面方程，再用柱面坐标（先积 $z$、后在圆盘上用极坐标）计算三重积分。

$yOz$ 面内曲线 $y^2=2z$ 绕 $z$ 轴旋转，得旋转抛物面 $x^2+y^2=2z$。立体 $\Omega =\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 2z,0\le z\le 4\}$，即对每个 $z\in [0,4]$，$(x,y)$ 落在圆盘 $D_z:x^2+y^2\le 2z$ 内。

用柱面坐标：
$${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z)dv={\int }_0^{4}dz{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\sqrt{2z}}(r^2+z)rdr.$$

内层 ${\int }_0^{\sqrt{2z}}(r^3+rz)dr=\frac{(2z{)}^2}{4}+\frac{z\cdot 2z}{2}=z^2+z^2=2z^2$，故
$$\text{原式}=2\pi {\int }_0^{4}2z^{2}dz=4\pi \cdot \frac{4^3}{3}=\frac{256\pi }{3}.$$