1991 年考研数学（一） 第 12 题

方向导数题可拆成两件独立的事：先定方向、再求梯度。方向来自曲面 $F=2x^2+3y^2+z^2-6=0$ 的外法向量 $\{F_x,F_y,F_z\}=\{4x,6y,2z\}$，归一化得方向余弦；梯度则是目标函数 $u$ 的三个偏导在 $P$ 处的值。最后用方向导数公式把两者对应相乘求和。易错点是别把约束曲面 $F$ 与目标函数 $u$ 的梯度搞混。

分析：先求曲面在 $P$ 处的外法向量及其方向余弦，再求 $u$ 的三个偏导数，代入方向导数公式 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}=u_x\cos \alpha +u_y\cos \beta +u_z\cos \gamma$。

令 $F=2x^2+3y^2+z^2-6$，法向量 $\mathbf{n}=\{F_x,F_y,F_z\}=\{4x,6y,2z\}{|}_{(1,1,1)}=\{4,6,2\}$，$|\mathbf{n}|=\sqrt{16+36+4}=2\sqrt{14}$，方向余弦 $\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{14}},\cos \beta =\frac{3}{\sqrt{14}},\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{14}}$。

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{6x}{z\sqrt{6x^2+8y^2}},\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{8y}{z\sqrt{6x^2+8y^2}},\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{\sqrt{6x^2+8y^2}}{z^2}$。在 $P(1,1,1)$（$\sqrt{6+8}=\sqrt{14}$）处分别为 $\frac{6}{\sqrt{14}},\frac{8}{\sqrt{14}},-\sqrt{14}$。

故 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}{|}_P=\frac{6}{\sqrt{14}}\cdot \frac{2}{\sqrt{14}}+\frac{8}{\sqrt{14}}\cdot \frac{3}{\sqrt{14}}+(-\sqrt{14})\cdot \frac{1}{\sqrt{14}}=\frac{12}{14}+\frac{24}{14}-1=\frac{11}{7}$。