1991 年考研数学（一） 第 11 题

幂指函数求极限，第一步永远是先定型。此题属 $1^{\infty }$，标准做法是写成 $e^{v\ln u}$ 或用 $e^{\lim v(u-1)}$。难点只在算指数极限 $\frac{\pi }{x}(\cos \sqrt{x}-1)$，而 $\cos \sqrt{x}-1$ 用等价无穷小 $-\frac{x}{2}$ 一步化简，$x$ 恰好约掉，指数极限化为一个常数，再回代到 $e^{(\cdot )}$ 便得结果。

分析：这是 $1^{\infty }$ 型未定式，利用 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$（或取对数）处理。

记底 $u=\cos \sqrt{x}\to 1$，指数 $v=\frac{\pi }{x}$，则
$$(\cos \sqrt{x}{)}^{\frac{\pi }{x}}=[(1+(\cos \sqrt{x}-1){)}^{\frac{1}{\cos \sqrt{x}-1}}{]}^{\frac{\pi }{x}(\cos \sqrt{x}-1)}.$$

当 $x\to 0^{+}$ 时，$\cos \sqrt{x}-1\sim -\frac{1}{2}(\sqrt{x}{)}^2=-\frac{x}{2}$，故指数的极限
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\pi }{x}(\cos \sqrt{x}-1)=\pi \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-\frac{x}{2}}{x}=-\frac{\pi }{2}.$$

因此原极限 $=e^{-\frac{\pi }{2}}$。