1991 年考研数学（一） 第 10 题

三个矩阵乘积为单位阵的题，关键认识是「互逆的两个方阵可交换」：由 $\mathbf{A}(\mathbf{BC})=\mathbf{E}$ 知 $\mathbf{BC}={\mathbf{A}}^{-1}$，因此把整块 $\mathbf{BC}$ 与 $\mathbf{A}$ 相乘时先后次序可交换而仍得 $\mathbf{E}$。注意矩阵一般不能随意交换，能交换的只是整体的 $\mathbf{A}$ 与整体的 $\mathbf{BC}$，据此对照四个选项即可锁定。

分析：$\mathbf{ABC}=\mathbf{E}$ 说明 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{BC}$ 互为逆矩阵，而互逆矩阵相乘可交换次序。

由 $\mathbf{ABC}=\mathbf{E}$ 知 $\mathbf{A}(\mathbf{BC})=\mathbf{E}$，即 $\mathbf{BC}={\mathbf{A}}^{-1}$。

从而 $\mathbf{BCA}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{E}$，应选 D。