1991 年考研数学（一） 第 9 题

区域不规则但被积函数有明显奇偶性时，优先「割区域 + 对称性」而非硬积分。用 $y=x,y=-x$ 把三角形分成分别关于 $x$ 轴、$y$ 轴对称的两块后，$xy$ 因是奇函数在两块上多半积掉，只有 $\cos x\sin y$ 在关于 $y$ 轴对称那块（它关于 $x$ 为偶）留下，且能折算到第一象限 $D_1$ 上。看清「哪部分被对称性杀掉」即可选出答案，无须真算积分值。

分析：$D$ 的斜边为 $y=x$。用直线 $y=x$、$y=-x$ 把 $D$ 分成关于坐标轴对称的两块，再利用被积函数的奇偶对称性化简。

记 $D_2=\{(x,y)\mid -1\le x\le 0,x\le y\le -x\}$（关于 $x$ 轴对称），$D_3=\{(x,y)\mid -y\le x\le y,0\le y\le 1\}$（关于 $y$ 轴对称），则 $D=D_2\cup D_3$。

在 $D_2$ 上关于 $x$ 轴对称，$xy$ 与 $\cos x\sin y$ 关于 $y$ 均为奇函数，故 ${\iint }_{D_2}(xy+\cos x\sin y)dxdy=0$。

在 $D_3$ 上关于 $y$ 轴对称，$xy$ 关于 $x$ 为奇函数（积分为 $0$），$\cos x\sin y$ 关于 $x$ 为偶函数，故 ${\iint }_{D_3}(xy+\cos x\sin y)dxdy={\iint }_{D_3}\cos x\sin ydxdy=2{\iint }_{D_1}\cos x\sin ydxdy$。

综上，原积分 $=2{\iint }_{D_1}\cos x\sin ydxdy$，应选 A。