1991 年考研数学（一） 第 8 题

级数求和别急着找通项，先用「部分和」把三个级数联系起来。交错和的部分和恰是「奇项和减偶项和」，于是已知交错和与奇项和就能反解偶项和；而总和 $\sum a_n$ 的部分和 $S_{2n}$ 又是「奇项和加偶项和」。把这几个极限关系摆出来，纯代数即可算出，不涉及收敛性判别。

分析：把奇数项和、偶数项和、交错和用部分和联系起来。

记奇数项部分和 $S_n^{(1)}=a_1+a_3+\cdots +a_{2n-1}$，偶数项部分和 $S_n^{(2)}=a_2+a_4+\cdots +a_{2n}$，交错级数部分和 $S_{2n}^{(3)}=a_1-a_2+\cdots +a_{2n-1}-a_{2n}=S_n^{(1)}-S_n^{(2)}$。

由题设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n^{(1)}=5$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}^{(3)}=2$，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n^{(2)}=5-2=3$。

于是 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }(S_n^{(1)}+S_n^{(2)})=5+3=8$，应选 C。