1991 年考研数学（一） 第 7 题

被积函数里含未知函数、又是变限积分，这类「积分方程」标准打法是求导化成微分方程。先用 $x=0$ 抓初值（限相同故积分为 $0$），再对含上限 $2x$ 的变限积分求导（别忘乘 $2$），得到 $f^{\prime }(x)=2f(x)$ 这一可分离方程。有了通解再用初值定常数，选项自然浮现。

分析：先令 $x=0$ 求初值，再对关系式两边求导化为微分方程。

令 $x=0$，积分上下限相同，得 $f(0)=\ln 2$。

两边对 $x$ 求导（变限积分求导，上限为 $2x$）：$f^{\prime }(x)=f\left(\frac{2x}{2}\right)\cdot 2=2f(x)$，即 $f^{\prime }(x)=2f(x)$，解得 $f(x)=C{e}^{2x}$。

由 $f(0)=\ln 2$ 得 $C=\ln 2$，故 $f(x)=e^{2x}\ln 2$，应选 B。