1991 年考研数学（一） 第 6 题

渐近线题要养成「两头都查」的习惯：水平渐近线看自变量趋于无穷时函数的极限，铅直渐近线看函数趋于无穷（通常分母为零）之处。这里 $e^{-x^2}$ 在 $x\to \infty$ 时趋 $0$、在 $x\to 0$ 时趋 $1$——一处关系到水平渐近线，另一处使分母为零关系到铅直渐近线，两处都要老实验证再下结论。选项设计就是逼你别只查一头。

分析：分别考察 $x\to \infty$（水平渐近线）与使分母为零的点 $x\to 0$（铅直渐近线）。

当 $x\to \infty$ 时，$e^{-x^2}\to 0$，$y\to \frac{1+0}{1-0}=1$，故 $y=1$ 为水平渐近线。

当 $x\to 0$ 时，$e^{-x^2}\to 1$，分母 $1-e^{-x^2}\to 0$（分子 $\to 2$），$y\to \infty$，故 $x=0$ 为铅直渐近线。

既有水平渐近线又有铅直渐近线，应选 D。