1991 年考研数学（一） 第 5 题

看到 4 阶矩阵却带着大片 $0$，先找结构——这里 $0$ 把它切成两个独立的 2 阶块，是分块对角阵。分块对角阵的逆等于各块分别求逆，于是 4 阶问题降为两个 2 阶求逆，远比直接对 4 阶消元省力。识别「分块」这一步是关键。

分析：$\mathbf{A}$ 是分块对角矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{B}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{C}\end{array}\right)$，其中 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$，$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 1\end{array}\right)$，故 ${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}^{-1}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{C}}^{-1}\end{array}\right)$。

$\det \mathbf{B}=5-4=1$，${\mathbf{B}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 5\end{array}\right)$；$\det \mathbf{C}=1+2=3$，${\mathbf{C}}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$。

故 ${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 0\\ -2& 5& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\\ 0& 0& -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$。