1991 年考研数学（一） 第 4 题

看到「等价无穷小求参数」，核心是把两边各自化成 $c{x}^k$ 再比系数。这里两个无穷小都是 $x^2$ 阶，只需取主部：$(1+u{)}^{1/3}-1\sim \frac{u}{3}$、$\cos x-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$，令 $x^2$ 系数相等即可。用等价代换比泰勒展开更快，因为只关心最低阶。

分析：分别求两个无穷小的等价主部，令主部系数相等。

由 $(1+u{)}^{\frac{1}{3}}-1\sim \frac{u}{3}$（$u\to 0$），得 $(1+a{x}^2{)}^{\frac{1}{3}}-1\sim \frac{a}{3}{x}^2$；又 $\cos x-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$。

两者等价需 $\frac{a}{3}=-\frac{1}{2}$，故 $a=-\frac{3}{2}$。