1991 年考研数学（一） 第 3 题

求平面先想「点 + 法向量」。此题没直接给法向量，但给了两个方向：平面含 $L_1$ 故平行于 $\overrightarrow{s_1}$，又平行于 $L_2$ 故平行于 $\overrightarrow{s_2}$。一个向量同时垂直于两个已知向量，自然想到叉乘——$\overrightarrow{s_1}\times \overrightarrow{s_2}$ 就是法向量，再用 $L_1$ 上的点写点法式即可。

分析：所求平面含 $L_1$（过 $L_1$ 上的点 $M_0(1,2,3)$，方向为 $\overrightarrow{s_1}$），又平行于 $L_2$（方向 $\overrightarrow{s_2}$），故其法向量可取 $\overrightarrow{s_1}\times \overrightarrow{s_2}$。

$\overrightarrow{s_1}=\{1,0,-1\}$，$\overrightarrow{s_2}=\{2,1,1\}$，法向量
$$\mathbf{n}=\overrightarrow{s_1}\times \overrightarrow{s_2}=\{1,0,-1\}\times \{2,1,1\}=\{1,-3,1\}.$$

平面过 $M_0(1,2,3)$：$(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0$，即 $x-3y+z+2=0$。