1991 年考研数学（一） 第 2 题

隐函数求全微分有两条路：分别求 $z_x,z_y$，或直接对方程取全微分。这里方程含根式、三变量对称，直接「两边求微分」最省事——微分是线性运算，一次就把三个偏导信息装进一个等式。关键是先代入具体点让系数变简单（该点使 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$），再解出 $dz$ 与 $dx,dy$ 的关系。

分析：对方程两边求全微分，再代入点 $(1,0,-1)$（此时 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$）解出 $dz$。

两边求微分 $d(xyz)+d\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=0$，即
$$yzdx+xzdy+xydz+\frac{xdx+ydy+zdz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=0.$$

将 $(x,y,z)=(1,0,-1)$ 代入：
$$0\cdot dx+(-1)dy+0\cdot dz+\frac{dx+0-dz}{\sqrt{2}}=0,$$
即 $\frac{1}{\sqrt{2}}dx-dy-\frac{1}{\sqrt{2}}dz=0$，解得 $dz=dx-\sqrt{2}dy$。