1991 年考研数学（一） 第 1 题

参数方程的二阶导最容易错在「漏掉再除一次 $\frac{dx}{dt}$」。识别信号是 $x,y$ 都由参数 $t$ 给出，此时任何对 $x$ 的求导都要经链式法则转成对 $t$ 求导再除以 $\frac{dx}{dt}$。先把一阶导算成一个新的 $t$ 的函数，再机械地套一次同样规则，不必消去参数。

分析：参数方程求二阶导数，先求 $\frac{dy}{dx}$，再对其关于 $x$ 求导时仍需除以 $\frac{dx}{dt}$。

由 $\frac{dx}{dt}=2t$，$\frac{dy}{dt}=-\sin t$，得 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{-\sin t}{2t}$。

再求二阶导数：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{-\sin t}{2t}\right)}{dx/dt}=\frac{\frac{-2t\cos t+2\sin t}{4t^2}}{2t}=\frac{\sin t-t\cos t}{4t^3}.$$