1991 年考研数学（一） 第 18 题

涉及正定矩阵的行列式不等式，主线几乎都是「化到特征值上」。正定给出 ${\lambda }_i>0$；$\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{A}$ 共特征向量，特征值平移成 ${\lambda }_i+1$；再用「行列式 = 特征值之积」把 $|\mathbf{A}+\mathbf{E}|$ 写成 $\prod ({\lambda }_i+1)$。每个 ${\lambda }_i+1>1$，连乘自然大于 $1$。把矩阵问题降到数的问题是关键一招。

分析：正定矩阵的特征值全为正，利用 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 的特征值与 $\mathbf{A}$ 的特征值的关系，以及行列式等于全部特征值之积。

因 $\mathbf{A}$ 正定，其特征值 ${\lambda }_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$。

设 $\lambda$ 为 $\mathbf{A}$ 的特征值，对应特征向量 $\mathbf{\xi }\ne 0$，则 $(\mathbf{A}+\mathbf{E})\mathbf{\xi }=(\lambda +1)\mathbf{\xi }$，故 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 的全部特征值为 ${\lambda }_1+1,{\lambda }_2+1,\cdots ,{\lambda }_n+1$。

于是 $|\mathbf{A}+\mathbf{E}|=\prod _{i=1}^n({\lambda }_i+1)$。由每个 ${\lambda }_i>0$ 知 ${\lambda }_i+1>1$，故 $|\mathbf{A}+\mathbf{E}|=({\lambda }_1+1)({\lambda }_2+1)\cdots ({\lambda }_n+1)>1$。证毕。