1991 年考研数学（一） 第 19 题

几何微分方程题第一关是「把文字翻译成 $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ 的等式」：曲率 $=\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$，法线段长 $=y\sqrt{1+y^{\prime 2}}$，令二者的倒数关系成立即得所需方程。方程不含 $x$，用 $y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$ 把二阶降为关于 $p,y$ 的一阶可分离方程；每积分一次就用「切线水平 $y^{\prime }(1)=0$、过点 $y(1)=1$」定一个常数，两次积分后即得所求曲线。

分析：写出曲率公式与法线段长度，建立微分方程；再用初始条件 $y(1)=1,y^{\prime }(1)=0$ 求解。

设曲线为 $y=y(x)$（$y>0$，向上凹即 $y^{\prime \prime }>0$）。曲率 $k=\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$。过 $P(x,y)$ 的法线为 $Y-y=-\frac{1}{y^{\prime }}(X-x)$，令 $Y=0$ 得 $Q(x+y{y}^{\prime },0)$，故法线段长 $|PQ|=\sqrt{(y{y}^{\prime }{)}^2+y^2}=y\sqrt{1+y^{\prime 2}}$。

由题意 $\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{1}{y\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$，整理得 $y{y}^{\prime \prime }=1+y^{\prime 2}$。

令 $y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$，则 $yp\frac{dp}{dy}=1+p^2$，分离变量 $\frac{2pdp}{1+p^2}=\frac{2dy}{y}$，积分得 $1+p^2=C_1{y}^2$。代入 $y(1)=1,p(1)=y^{\prime }(1)=0$ 得 $C_1=1$，即 $y^{\prime }=\pm \sqrt{y^2-1}$。

再分离变量 $\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=\pm dx$，积分得 $\ln (y+\sqrt{y^2-1})=\pm (x-1)$（由 $y(1)=1$ 定常数）。联立 $y+\sqrt{y^2-1}=e^{\pm (x-1)}$ 与 $y-\sqrt{y^2-1}=e^{\mp (x-1)}$，相加得所求曲线
$$y=\frac{e^{x-1}+e^{1-x}}{2}(=\cosh (x-1)).$$