1991 年考研数学（一） 第 20 题

正态分布只需两招：标准化 + 对称性 $\Phi (-t)=1-\Phi (t)$。$\mu =2$ 使 $P\{2<X<4\}$ 标准化后等于 $\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)-\Phi (0)$，据此可定出 $\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)$ 的值；再把 $P\{X<0\}$ 标准化成 $\Phi \left(-\frac{2}{\sigma }\right)$，用对称性换成刚才那个已知量。全程不必求出 $\sigma$，因为要用的正好是同一个 $\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)$。

分析：标准化后用标准正态分布函数 $\Phi$ 及其对称性 $\Phi (-t)=1-\Phi (t)$。

$X\sim N(2,{\sigma }^2)$，$\frac{X-2}{\sigma }\sim N(0,1)$。由 $P\{2<X<4\}=\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)-\Phi (0)=\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)-0.5=0.3$，得 $\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)=0.8$。

故 $P\{X<0\}=\Phi \left(\frac{0-2}{\sigma }\right)=\Phi (-\frac{2}{\sigma })=1-\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)=1-0.8=0.2$。