1991 年考研数学（一） 第 21 题

出现「概率正比于面积」就按几何概型 = 面积之比来做。难点是算「夹角 $<\frac{\pi }{4}$」对应子区域的面积——夹角天然是极角，于是转极坐标：圆的极坐标方程 $r=2a\cos \theta$，把 $\theta$ 限在 $0$ 到 $\frac{\pi }{4}$ 积分得面积，最后除以半圆面积 $\frac{\pi a^2}{2}$。选极坐标是因为约束是「角度」，直角坐标反而别扭。

分析：这是几何概型。半圆 $(x-a{)}^2+y^2<a^2(y>0)$ 的面积为 $\frac{\pi a^2}{2}$；所求事件对应夹角 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$ 的部分，用极坐标求其面积。

半圆边界在极坐标下为 $r=2a\cos \theta$。夹角小于 $\frac{\pi }{4}$ 对应 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$，该区域 $D$ 的面积
$$S_D={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}d\theta {\int }_0^{2a\cos \theta }rdr={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}2a^2{\cos }^2\theta d\theta =a^2(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}).$$

故所求概率 $p=\frac{S_D}{\pi a^2/2}=\frac{a^2(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2})}{\frac{\pi a^2}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }$。