1991 年考研数学（一） 第 22 题

求随机变量函数的分布，通用起点是「分布函数定义 + 对满足不等式的区域积密度」。这里事件 $\{Z\le z\}$ 是半平面 $x+2y\le z$，与密度非零区 $\{x>0,y>0\}$ 求交后按 $z$ 的正负分段。$z>0$ 时该交集是个三角形，选「先 $y$ 后 $x$」的顺序积分最顺。要点是把 $Z\le z$ 几何化成区域，并按 $z$ 的符号分段写出 $F_Z(z)$。

分析：用分布函数定义 $F_Z(z)=P\{X+2Y\le z\}$，对区域 $\{x+2y\le z\}\cap \{x>0,y>0\}$ 积分。

当 $z\le 0$ 时，区域 $\{x+2y\le z\}$ 与 $\{x>0,y>0\}$ 无公共部分，$F_Z(z)=0$。

当 $z>0$ 时，
$$F_Z(z)={\iint }_{x+2y\le z}f(x,y)dxdy={\int }_0^{z}dx{\int }_0^{\frac{z-x}{2}}2e^{-(x+2y)}dy.$$

内层 ${\int }_0^{\frac{z-x}{2}}2e^{-2y}dy=1-e^{-(z-x)}$，故
$$F_Z(z)={\int }_0^z{e}^{-x}(1-e^{-(z-x)})dx={\int }_0^z(e^{-x}-e^{-z})dx=1-e^{-z}-z{e}^{-z}.$$

故 $Z$ 的分布函数为 $F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-z}-z{e}^{-z},& z>0,\\ 0,& z\le 0.\end{array}$