1988 年考研数学（一） 第 3 题

「闭合曲面 + 外侧 + 各分量有连续偏导」是高斯公式的典型触发条件，它把难算的第二类面积分变成三重积分。散度恰为 $3(x^2+y^2+z^2)=3r^2$，与球对称完美契合，于是顺势换球坐标，三重积分立刻分离成三个一维积分相乘。

分析：$S$ 是封闭曲面且取外侧，被积表达式各分量有连续偏导数，用高斯公式化为三重积分，再用球坐标计算。

由高斯公式，
$$I=\iint x^{3}dydz+y^{3}dzdx+z^{3}dxdy={\iiint }_{\Omega }\left(3x^2+3y^2+3z^2\right)dv=3{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv,$$
其中 $\Omega$ 为单位球体 $x^2+y^2+z^2⩽1$。

采用球坐标，$x^2+y^2+z^2=r^2$，$dv=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$，则
$$I=3{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }d\phi {\int }_0^1{r}^2\cdot r^2\sin \phi dr=3{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi {\int }_0^1{r}^{4}dr.$$

逐项积分：${\int }_0^1{r}^{4}dr=\frac{1}{5}$，${\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi =2$，${\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$，故 $I=3\cdot 2\pi \cdot 2\cdot \frac{1}{5}=\frac{12\pi }{5}$。