1988 年考研数学（一） 第 2 题

关键信号是 $f$ 的表达式与复合结果 $f[\phi (x)]$ 同时已知，于是「代入 + 反解」即可挖出 $\phi$。取对数是因为 $\phi$ 被困在 $e^{(\cdot {)}^2}$ 里，取对数正好剥掉指数这一层；而 $\phi ⩾0$ 不是摆设，它决定开平方取正根并最终框定定义域。

分析：把 $\phi (x)$ 当作 $f$ 的自变量代入 $f(u)=e^{u^2}$，再由 $\phi (x)⩾0$ 及对数、根号的要求确定定义域。

由 $f[\phi (x)]=e^{{\phi }^2(x)}=1-x$，两边取对数得 ${\phi }^2(x)=\ln (1-x)$。又 $\phi (x)⩾0$，故 $\phi (x)=\sqrt{\ln (1-x)}$。

定义域。 要求 $\ln (1-x)⩾0$，即 $1-x⩾1$，解得 $x⩽0$。故 $\phi (x)$ 的定义域为 $(-\infty ,0]$。