1988 年考研数学（一） 第 1 题

看到「求收敛域」就应条件反射到「先半径、后端点」的固定套路。中心是 $x=3$、通项带 $3^n$，用比值法算 $|a_{n+1}/a_n|$ 最直接；真正的分水岭在两端点——比值/根值判别在端点恒失效，必须回到具体级数（一端是交错级数、一端是调和级数）单独判断。

分析：先用比值法求收敛半径，再单独判别两个端点处的敛散性，即可确定收敛域。

由 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{(n+1)\cdot 3^{n+1}}\cdot \frac{n\cdot 3^n}{1}=\frac{1}{3}$，得收敛半径 $R=3$，即当 $|x-3|<3$（$0<x<6$）时级数绝对收敛。

端点判别。 当 $x-3=-3$，即 $x=0$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$，由莱布尼茨判别法知其收敛；当 $x-3=3$，即 $x=6$ 时，级数为调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$，发散。

综上，该幂级数的收敛域为 $[0,6)$。