1988 年考研数学（一） 第 4 题

陷阱在于 $f(t)$ 是「先对 $x$ 取极限、再对 $t$ 求导」的两层结构，必须先消掉极限才能求导。把 $2tx$ 看成 $x\cdot 2t$ 就能套 $(1+1/x{)}^x\to e$，极限里 $t$ 只是旁观的常数；得到 $f(t)=t{e}^{2t}$ 后就是常规乘积求导。

先求极限得到 $f(t)$ 的显式表达式，再对 $t$ 求导。

由重要极限 $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$，得
$$f(t)=t\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]}^{2t}=t{e}^{2t}.$$

于是 $f^{\prime }(t)=e^{2t}+t\cdot 2e^{2t}=(1+2t)e^{2t}$。