1988 年考研数学（一） 第 5 题

看到「傅里叶级数在某点收敛于」应立刻想到狄利克雷定理，而非直接代函数值——尤其当该点是间断/分段点时。$x=1$ 是周期端点：左极限走 $x^3$ 段得 $1$，右极限借周期性平移到 $x=-1^{+}$ 得 $2$，两者取平均即答案。

分析：由狄利克雷收敛定理，傅里叶级数在点 $x_0$ 处收敛于该点左、右极限的算术平均 $\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}$。

在 $x=1$ 处：左极限 $f(1-0)={\lim }_{x\to 1^{-}}{x}^3=1$；由周期性 $f(1+0)=f(1+0-2)=f(-1+0)=2$。

故傅里叶级数在 $x=1$ 处收敛于
$$\frac{f(1-0)+f(1+0)}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}.$$