1988 年考研数学（一） 第 6 题

$f$ 被藏在变上限积分里，「两边求导」是把它从积分号下解放出来的标准手段。上限是 $x^3-1$ 而非 $x$，故须用复合变限求导补上因子 $3x^2$。最后不必解出整个 $f$，只需巧取 $x=2$ 让上限恰为 $7$，直接读出 $f(7)$。

对等式两边关于 $x$ 求导，利用变限积分求导公式（复合函数形式）。

由 ${\int }_0^{x^3-1}f(t)dt=x$，两边对 $x$ 求导得 $f(x^3-1)\cdot 3x^2=1$。

令 $x=2$，则 $x^3-1=7$，代入得 $f(7)\cdot 3\cdot 4=1$，即 $f(7)=\frac{1}{12}$。