1988 年考研数学（一） 第 7 题

关键信号是 $A,B$ 共享后三列、仅首列不同，这正是行列式「按列多线性」的用武之地。直接算 $|A+B|$ 会把每列都弄复杂；而先从后三列提出 $2^3$、再把首列 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }$ 拆开，就能拼出 $8(|A|+|B|)$。

分析：$A$ 与 $B$ 仅第一列不同，其余三列相同。利用行列式关于某一列的可加性（多线性）展开。

$A+B=(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },2{\mathbf{\gamma }}_2,2{\mathbf{\gamma }}_3,2{\mathbf{\gamma }}_4)$，把后三列的公因子 $2$ 提出：
$$|A+B|=2^3|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3,{\mathbf{\gamma }}_4|=8|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3,{\mathbf{\gamma }}_4|.$$

再由行列式关于第一列的可加性，
$$|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3,{\mathbf{\gamma }}_4|=|\mathbf{\alpha },{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3,{\mathbf{\gamma }}_4|+|\mathbf{\beta },{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3,{\mathbf{\gamma }}_4|=|A|+|B|=4+1=5.$$

故 $|A+B|=8\times 5=40$。