1988 年考研数学（一） 第 18 题

「存在唯一 $\xi$」是明确信号：存在性用零点定理、唯一性用单调性，二者都需一个辅助函数。把面积条件 $S_1=3S_2$ 搬成 $\phi (x)=S_1-3S_2$ 的零点问题；端点异号保证存在，而 ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\left[(x-a)+3(b-x)\right]>0$（正需要 $f^{\prime }>0$）保证严格单调、零点唯一。

分析：把 $S_1,S_2$ 表示成关于分点横坐标的定积分，构造辅助函数 $\phi$，用零点定理证明存在、用单调性证明唯一。

因 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增加。对 $(a,b)$ 内任一点 $x$，横线 $y=f(x)$ 与曲线及直线 $x=a,x=b$ 所围成的两块面积分别为
$$S_1(x)={\int }_a^x\left[f(x)-f(t)\right]dt,S_2(x)={\int }_x^b\left[f(t)-f(x)\right]dt.$$

令 $\phi (x)=S_1(x)-3S_2(x)=(x-a)f(x)-{\int }_a^{x}f(t)dt-3{\int }_x^{b}f(t)dt+3(b-x)f(x)$，则 $\phi$ 在 $[a,b]$ 上连续、可导。

存在性。 在端点处
$$\phi (a)=-3{\int }_a^b\left[f(t)-f(a)\right]dt<0,\phi (b)={\int }_a^b\left[f(b)-f(t)\right]dt>0$$
（因 $t\in (a,b)$ 时 $f(a)<f(t)<f(b)$）。由零点定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $\phi (\xi )=0$，即 $S_1(\xi )=3S_2(\xi )$。

唯一性。 求导得
$${\phi }^{\prime }(x)=(x-a)f^{\prime }(x)+3(b-x)f^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\left[(x-a)+3(b-x)\right]>0(a<x<b),$$
故 $\phi$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增加，其零点唯一，从而满足条件的 $\xi$ 唯一。证毕。