1988 年考研数学（一） 第 17 题

相似的必要条件「同迹、同行列式」是求参数 $x,y$ 的最快入口，不必先算特征多项式。定出参数后，$P^{-1}AP=B$ 即对角化：$B$ 的对角元就是特征值，逐个解 $(\lambda E-A)\mathbf{\xi }=0$ 得特征向量按序拼成 $P$；顺序必须对应，否则得到的对角阵不是题目要求的 $B$。

分析：相似矩阵有相同的迹与行列式，由此定出 $x,y$；再求 $A$ 的特征向量，以它们（按 $B$ 对角元的顺序）为列构造 $P$。

（1） 相似矩阵迹相等：$\mathrm{tr}A=2+0+x=2+x$，$\mathrm{tr}B=2+y+(-1)=y+1$，故 $2+x=y+1$，即 $x=y-1$。又行列式相等：$|A|=2\cdot (0\cdot x-1\cdot 1)=-2$，$|B|=2\cdot y\cdot (-1)=-2y$，由 $-2=-2y$ 得 $y=1$，从而 $x=0$。

（2） 此时 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$，其特征值即 $B$ 的对角元 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=-1$。

对 ${\lambda }_1=2$：$2E-A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得特征向量 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,0,0{)}^T$。

对 ${\lambda }_2=1$：$E-A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得特征向量 ${\mathbf{\alpha }}_2=(0,1,1{)}^T$。

对 ${\lambda }_3=-1$：$-E-A=\left(\begin{array}{ccc}-3& 0& 0\\ 0& -1& -1\\ 0& -1& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得特征向量 ${\mathbf{\alpha }}_3=(0,-1,1{)}^T$。

取 $P=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，则 $P$ 可逆且 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(2,1,-1)=B$。