1988 年考研数学（一） 第 16 题

看到 $AP=PB$ 与可逆 $P$，立即想到 $A=PB{P}^{-1}$。求高次幂的诀窍全在此式：$A^5=P{B}^5{P}^{-1}$，而 $B=\mathrm{diag}(1,0,-1)$ 的五次方只需对角元各自五次方，且这里 $B^5=B$，于是 $A^5=A$，避开繁重的矩阵连乘。

分析：由 $AP=PB$ 且 $P$ 可逆，得 $A=PB{P}^{-1}$，即 $A$ 与 $B$ 相似；再用相似关系求 $A^5$。

先求 $P^{-1}$：对 $P$ 作初等行变换（或直接求逆）得
$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -4& 1& 1\end{array}\right).$$

于是
$$A=PB{P}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -4& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 6& -1& -1\end{array}\right).$$

求 $A^5$。 由 $A=PB{P}^{-1}$ 得 $A^5=P{B}^5{P}^{-1}$。因 $B=\mathrm{diag}(1,0,-1)$ 为对角阵，$B^5=\mathrm{diag}(1^5,0^5,(-1{)}^5)=\mathrm{diag}(1,0,-1)=B$，故
$$A^5=P{B}^5{P}^{-1}=PB{P}^{-1}=A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 6& -1& -1\end{array}\right).$$