1988 年考研数学（一） 第 15 题

变力做功 = 力的第二类曲线积分，这是从物理到数学的翻译。沿给定弧 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 直接积分很难，于是检验 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$：引力场是保守场，积分与路径无关（只要不穿过奇点 $A(0,1)$）。据此换成直线段 $BO$（$y=0$），积分立刻变得初等。

分析：写出引力的向量表达式，功等于力沿路径的第二类曲线积分；再验证该积分与路径无关，改沿直线段 $BO$ 计算。

设 $M(x,y)$，则 $\overrightarrow{MA}=\{-x,1-y\}$，$r=|\overrightarrow{MA}|=\sqrt{x^2+(1-y{)}^2}$，其单位向量 ${\overrightarrow{MA}}^0=\frac{1}{\sqrt{x^2+(1-y{)}^2}}\{-x,1-y\}$。故引力
$$\mathbf{F}=\frac{k}{r^2}{\overrightarrow{MA}}^0=\frac{k}{{\left[x^2+(1-y{)}^2\right]}^{3/2}}\{-x,1-y\}.$$

所求功为
$$W={\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=k{\int }_L\frac{-xdx+(1-y)dy}{{\left[x^2+(1-y{)}^2\right]}^{3/2}},$$
其中 $L$ 为曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 上从 $B(2,0)$ 到 $O(0,0)$ 的有向弧段。

记 $P=\frac{-x}{{\left[x^2+(1-y{)}^2\right]}^{3/2}}$，$Q=\frac{1-y}{{\left[x^2+(1-y{)}^2\right]}^{3/2}}$。在不含点 $A(0,1)$ 的单连通区域内可验证 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，故曲线积分与路径无关（积分路径不经过 $A$）。

改沿直线段 $\overline{BO}$（即 $y=0$，$dy=0$，$x$ 从 $2$ 变到 $0$）积分：
$$W=k{\int }_2^0\frac{-xdx}{(x^2+1{)}^{3/2}}.$$

由 $\int \frac{-xdx}{(x^2+1{)}^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，得
$$W=k{\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right]}_{x=2}^{x=0}=k\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).$$