1988 年考研数学（一） 第 14 题

标准的「通解 + 定解」两步走。识别 $2e^x$ 中 $\lambda =1$ 恰是特征方程的单根，属共振情形，特解须设成 $ax{e}^x$，否则代入会矛盾。「切线重合」这句几何语言要翻译成解析条件——同一点、同斜率，正好凑齐 $y(0)$ 与 $y^{\prime }(0)$ 两个方程定出 $C_1,C_2$。

分析：先求二阶常系数非齐次线性方程的通解，再用「过点 $(0,1)$」与「该点切线斜率」两个条件定出任意常数。

特征方程 ${\lambda }^2-3\lambda +2=0$ 的根为 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2$，故对应齐次方程的通解为 $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$。

因 $\lambda =1$ 是单特征根，设非齐次特解 $y_0=ax{e}^x$，代入原方程得 $-a{e}^x=2e^x$，即 $a=-2$。故原方程通解为 $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}-2x{e}^x$。

定常数。 曲线 $y=x^2-x+1$ 过点 $(0,1)$，其在该点的切线斜率为 $(2x-1){|}_{x=0}=-1$。因此所求曲线也过 $(0,1)$ 且在该点斜率为 $-1$。

由 $y(0)=C_1+C_2=1$；又 $y^{\prime }=C_1{e}^x+2C_2{e}^{2x}-2(x+1)e^x$，$y^{\prime }(0)=C_1+2C_2-2=-1$，即 $C_1+2C_2=1$。联立解得 $C_1=1,C_2=0$。

故所求函数为 $y=(1-2x)e^x$。