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1988 年考研数学（一）第 13 题

解答题 · 6 分

设

u = y f (\frac{x}{y}) + xg (\frac{y}{x})

，其中

f, g

具有二阶连续导数，求

x \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + y \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}

.

提示 1

f, g

是抽象复合函数，先分清中间变量：

f

的自变量是

\frac{x}{y}

，

g

的是

\frac{y}{x}

。

提示 2

求偏导用链式法则，务必带上

\frac{x}{y}, \frac{y}{x}

对

x

或

y

的偏导数这些因子。

提示 3

先算一阶偏导，再求二阶，最后代入组合

x \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + y \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}

，留意各项能否成对抵消。

答案与详解

思路（为什么这么做）

抽象函数偏导题的要点是「盯住中间变量、老实用链式法则」，

\frac{x}{y}

对

x

求导得

\frac{1}{y}

、对

y

得

- \frac{x}{y ^{2}}

等因子一个都不能漏。此题被精心构造成含

f^{''}

、

g^{''}

的项在该组合中恰好成对抵消——算到最后应相信会消干净。

解答

分析：

f

以

\frac{x}{y}

为中间变量、

g

以

\frac{y}{x}

为中间变量，逐次用复合函数求导法则。下式中

f^{'}, f^{''}

的自变量为

\frac{x}{y}

，

g^{'}, g^{''}

的自变量为

\frac{y}{x}

。

一阶偏导：

\frac{\partial u}{\partial x} = y \cdot f^{'} \cdot \frac{1}{y} + g + x \cdot g^{'} \cdot (- \frac{y}{x ^{2}}) = f^{'} (\frac{x}{y}) + g (\frac{y}{x}) - \frac{y}{x} g^{'} (\frac{y}{x}) .

再对

x

求偏导：

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{y} f^{''} - \frac{y}{x ^{2}} g^{'} + \frac{y}{x ^{2}} g^{'} + \frac{y ^{2}}{x ^{3}} g^{''} = \frac{1}{y} f^{''} (\frac{x}{y}) + \frac{y ^{2}}{x ^{3}} g^{''} (\frac{y}{x}) .

对

y

求偏导：

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = - \frac{x}{y ^{2}} f^{''} + \frac{1}{x} g^{'} - \frac{1}{x} g^{'} - \frac{y}{x ^{2}} g^{''} = - \frac{x}{y ^{2}} f^{''} (\frac{x}{y}) - \frac{y}{x ^{2}} g^{''} (\frac{y}{x}) .

于是

x \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + y \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{x}{y} f^{''} + \frac{y ^{2}}{x ^{2}} g^{''} - \frac{x}{y} f^{''} - \frac{y ^{2}}{x ^{2}} g^{''} = 0.

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

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