1988 年考研数学（一） 第 12 题

这类「充要条件辨析」最稳的做法是抓住「相关」的等价刻画再取逆否，而非凭感觉。「相关 = 存在某向量可被其余表示」，其否定正是「任意一个都不能被其余表示」。注意其他选项把「存在」偷换成「两两」或改动了量词，用具体反例一击即破。

分析：向量组线性相关 $⟺$ 其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。取此命题的否定即得线性无关的充要条件。

若向量组线性相关，则存在不全为零的 $k_1,\cdots ,k_s$ 使 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$。不妨设 $k_1\ne 0$，则 ${\mathbf{\alpha }}_1=-\frac{k_2}{k_1}{\mathbf{\alpha }}_2-\cdots -\frac{k_s}{k_1}{\mathbf{\alpha }}_s$，即至少有一个向量可由其余向量线性表示。

取逆否命题：向量组线性无关 $⟺$ 其中任意一个向量都不可由其余向量线性表示，应选 D。

排除法。 取 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,0,0{)}^T,{\mathbf{\alpha }}_2=(0,1,0{)}^T,{\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,0{)}^T$，其中任意两个线性无关但整体线性相关，排除 A、B；取 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,0,0{)}^T,{\mathbf{\alpha }}_2=(0,1,0{)}^T,{\mathbf{\alpha }}_3=(0,0,0{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_1$ 不可由 ${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 表示但向量组线性相关，排除 C。