1987 年考研数学（一） 第 9 题

三阶常系数非齐次方程的标准套路是「齐次通解 + 特解」。因方程缺 $y$ 项，特征方程可提出 $\lambda$，复根给出 ${\mathrm{e}}^{-3x}(\cos ax,\sin ax)$ 型解。右端常数对应 $\lambda =0$，但 $0$ 已是特征单根，故特解要乘 $x$ 提高一次，以避免与齐次解重复。

分析：这是三阶常系数线性非齐次方程，且不显含 $y$，特征方程含公因子 $\lambda$。

特征方程为 ${\lambda }^3+6{\lambda }^2+(9+a^2)\lambda =0$，即 $\lambda [{\lambda }^2+6\lambda +(9+a^2)]=0$，解得 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_{2,3}=-3\pm a\mathrm{i}$。

对应齐次方程的通解为
$$y=C_1+{\mathrm{e}}^{-3x}(C_2\cos ax+C_3\sin ax).$$

因 $\lambda =0$ 是单根而右端 $1$ 为常数，设特解 $y^{\ast }=Bx$，代入原方程得 $(9+a^2)B=1$，即 $B=\frac{1}{9+a^2}$，故 $y^{\ast }=\frac{x}{9+a^2}$。

所以原方程的通解为
$$y=C_1+{\mathrm{e}}^{-3x}(C_2\cos ax+C_3\sin ax)+\frac{x}{9+a^2}(C_1,C_2,C_3\text{ 为任意常数}).$$