1987 年考研数学（一） 第 10 题

面对 $\frac{k+n}{n^2}$ 这种「和除以幂」的通项，先拆成 $\frac{k}{n^2}+\frac{1}{n}$ 化为两个标准交错级数，是最省事的判别办法。前者绝对收敛、后者（交错调和级数）只条件收敛，二者之和只能条件收敛；再由绝对值通项 $\sim 1/n$ 确认非绝对收敛，从而排除其他选项。

分析：把通项按 $\frac{k+n}{n^2}=\frac{k}{n^2}+\frac{1}{n}$ 拆成两个交错级数分别判断。

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{k+n}{n^2}=k\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n^2}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}.$$

其中 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n^2}$ 绝对收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}$ 为交错调和级数，条件收敛。二者之和条件收敛（且与 $k>0$ 无关），故应选 C。