1987 年考研数学（一） 第 11 题

选项都在问结果依赖哪些变量，关键认识是积分变量是「哑变量」，绝不会出现在结果里，故含 $x$ 的选项立即排除。凑微分 $tdx=d(tx)$、令 $u=tx$，上限 $s/t$ 变为 $s$，积分化为 ${\int }_0^{s}f(u)du$，一眼看出只依赖 $s$。

分析：$x$ 是积分变量，定积分的值与积分变量无关，只需作换元看结果与 $s,t$ 的关系。

令 $u=tx$，则 $du=tdx$；当 $x=0$ 时 $u=0$，当 $x=\frac{s}{t}$ 时 $u=s$。于是
$$I=t{\int }_0^{s/t}f(tx)dx={\int }_0^{s/t}f(tx)d(tx)={\int }_0^{s}f(u)du.$$

结果 ${\int }_0^{s}f(u)du$ 只与上限 $s$ 有关，与 $t$ 无关，故应选 D。