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1987 年考研数学（一） 第 12 题
选择题 · 3 分
设 ，则在点 处（ ）
- A 可导且
- B 取得极大值
- C 取得极小值
- D 的导数不存在
提示 1
极限值为负且分母 ，用极限的保号性判断分子 的符号。提示 2
在 的去心邻域内 恒为何号？这对应极大还是极小？提示 3
先从符号得出极值结论，别被「可导」「导数不存在」等选项带偏。答案与详解
答案 B
思路（为什么这么做）
已知一个极限等于 ，最有力的工具是保号性：在 附近该比值恒负。由于分母 恒正，推得去心邻域内 ，正是极大值的定义。此题无需 可导等额外信息，纯符号分析已足够定论。
解答
分析：利用极限的保号性判断 在 附近的符号。
由极限保号性，存在 ，当 时 。因 ，故 ，即 。
这说明在 的某去心邻域内均有 ，即 为极大值点，故应选 B。
由极限保号性，存在 ，当 时 。因 ，故 ，即 。
这说明在 的某去心邻域内均有 ，即 为极大值点，故应选 B。