1987 年考研数学（一） 第 13 题

求 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|$ 的抓手是伴随矩阵定义式 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$。两边取行列式把问题转化为纯数量关系，右边 $||\mathbf{A}|\mathbf{E}|=|\mathbf{A}{|}^n$ 是关键一步，约去非零的 $|\mathbf{A}|$ 即得 $|\mathbf{A}{|}^{n-1}$。

分析：利用伴随矩阵的基本关系 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$。

由 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$ 两边取行列式：$|\mathbf{A}|\cdot |{\mathbf{A}}^{\ast }|=||\mathbf{A}|\mathbf{E}|=|\mathbf{A}{|}^n$。

因 $|\mathbf{A}|=a\ne 0$，两边约去 $|\mathbf{A}|$ 得 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}=a^{n-1}$，故应选 C。