1987 年考研数学（一） 第 14 题

幂级数求和的常规路线是「求半径 → 定收敛域 → 套已知展开式」。通项含 $\frac{1}{n}$ 与 $2^n$，提示往 $-\ln (1-y)=\sum y^n/n$ 上凑，取 $y=x/2$ 即可。由于原级数是 $x^{n-1}$ 而模板是 $y^n$，需提出 $\frac{1}{x}$，故 $x=0$ 处要单独代入求值。

分析：先用比值法求收敛半径，再检验端点确定收敛域；求和函数时利用已知展开式 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{y^n}{n}=-\ln (1-y)(-1\le y<1)$。

设 $a_n=\frac{1}{n\cdot 2^n}$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2}$，故收敛半径 $R=2$。

当 $x=-2$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-2{)}^{n-1}}{n\cdot 2^n}=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$，收敛；当 $x=2$ 时，级数为 $\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$，发散。故收敛域为 $[-2,2)$。

设 $S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 2^n}{x}^{n-1}$。当 $x=0$ 时，只有 $n=1$ 项，$S(0)=\frac{1}{2}$。

当 $x\ne 0$ 时，
$$S(x)=\frac{1}{x}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}(\frac{x}{2}{)}^n=-\frac{1}{x}\ln (1-\frac{x}{2}).$$

综上，
$$S(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& x=0,\\ -\frac{1}{x}\ln (1-\frac{x}{2}),& -2\le x<2\text{ 且 }x\ne 0.\end{array}$$