1987 年考研数学（一） 第 15 题

第二类曲面积分且曲面为旋转面，首选高斯公式，但前提是闭曲面，故补一个圆盘 $S_0$。算散度得 $P_x+Q_y+R_z=1$，体积分变成求旋转体体积，非常干净。补面的积分单独算（$y=3$ 使只剩 $dzdx$ 项），最后用「闭曲面减补面」还原所求。

分析：$S$ 是旋转抛物面 $y-1=x^2+z^2(1\le y\le 3)$，法向量与 $y$ 轴正向夹角大于 $\frac{\pi }{2}$ 表示取指向 $y$ 减小一侧的外侧。$S$ 不封闭，补一块圆盘 $S_0$ 后用高斯公式。

曲线 $z=\sqrt{y-1},x=0$ 绕 $y$ 轴旋转得 $S:y-1=x^2+z^2(1\le y\le 3)$，取外侧。补 $S_0:y=3(x^2+z^2\le 2)$，取右侧（法向量指向 $+y$）。则 $S+S_0$ 围成闭区域 $\Omega$，且
$$I=(\iint -{\iint }_{S_0})x(8y+1)dydz+2(1-y^2)dzdx-4yzdxdy.$$

记 $P=x(8y+1),Q=2(1-y^2),R=-4yz$，则 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=(8y+1)+(-4y)+(-4y)=1$。由高斯公式
$$\iint ={\iiint }_{\Omega }1dv={\int }_1^{3}dy{\iint }_{x^2+z^2\le y-1}dxdz={\int }_1^3\pi (y-1)dy=2\pi .$$

在 $S_0$ 上 $y=3$（$dy=0$），仅 $dzdx$ 一项非零：
$${\iint }_{S_0}={\iint }_{S_0}2(1-y^2)dzdx=2(1-9){\iint }_{x^2+z^2\le 2}dzdx=-16\cdot 2\pi =-32\pi .$$

故 $I=\iint -{\iint }_{S_0}=2\pi -(-32\pi )=34\pi$。