1987 年考研数学（一） 第 16 题

「证明 $f(x)=x$ 恰有一解」是典型的存在唯一性证明，标准手法是构造 $g(x)=f(x)-x$。存在性靠零点定理，端点符号由值域 $f(x)\in (0,1)$ 保证；唯一性靠单调性，条件 $f^{\prime }(x)\ne 1$ 即 $g^{\prime }\ne 0$，再借导函数的介值性（达布定理）说明 $g^{\prime }$ 不变号。存在与单调两步各扣住一个条件，缺一不可。

分析：构造辅助函数 $g(x)=f(x)-x$，用零点定理证明存在性，用严格单调性证明唯一性。

存在性：令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g$ 在 $[0,1]$ 上连续。因对每个 $x\in [0,1]$ 有 $0<f(x)<1$，故 $g(0)=f(0)>0$，$g(1)=f(1)-1<0$。由零点定理，存在 $x_0\in (0,1)$ 使 $g(x_0)=0$，即 $f(x_0)=x_0$。

唯一性：$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1$。因 $f^{\prime }(x)\ne 1$，故 $g^{\prime }(x)\ne 0$ 在 $[0,1]$ 上恒成立。又 $g^{\prime }$ 具有介值性（导函数的达布性质），故 $g^{\prime }(x)$ 不变号，即 $g^{\prime }(x)>0$ 恒成立或 $g^{\prime }(x)<0$ 恒成立，从而 $g$ 在 $[0,1]$ 上严格单调，其零点唯一。

综上，在 $(0,1)$ 内有且仅有一个 $x$ 使 $f(x)=x$。