1987 年考研数学（一） 第 17 题

参数方程组的核心是秩的比较：唯一解要求两秩都等于未知数个数，无解对应 $r(\mathbf{A})<r(\bar{\mathbf{A}})$，无穷多解对应两秩相等但小于未知数个数。行变换后关键行呈现 $a-1$、$b+1$ 等因子，正是分类的临界值。落到 $a=1,b=-1$ 时秩降为 $2$，取两个自由未知量即得含两个任意常数的通解。

分析：对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形，再按参数 $a,b$ 讨论系数矩阵与增广矩阵的秩。

对增广矩阵作行变换：
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& 2& 1\\ 0& -1& a-3& -2& b\\ 3& 2& 1& a& -1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& 2& 1\\ 0& 0& a-1& 0& b+1\\ 0& 0& 0& a-1& 0\end{array}\right).$$

讨论：
（i）当 $a\ne 1$ 时，$r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})=4$ 等于未知数个数，方程组有唯一解；
（ii）当 $a=1,b\ne -1$ 时，第三行成为 $0=b+1\ne 0$，$r(\mathbf{A})=2<r(\bar{\mathbf{A}})=3$，方程组无解；
（iii）当 $a=1,b=-1$ 时，$r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})=2<4$，方程组有无穷多个解。

当 $a=1,b=-1$ 时，增广矩阵进一步化为
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& -1& -1\\ 0& 1& 2& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$
取 $x_3,x_4$ 为自由未知量，得通解
$$\mathbf{X}=k_1\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)(k_1,k_2\text{ 为任意常数}).$$