1987 年考研数学（一）第 18 题

填空题 · 2 分

假设在一次试验中，事件

A

发生的概率为

p

，现进行

n

次独立试验，则

A

至少发生一次的概率为 ___，而事件

A

至多发生一次的概率为 ___.

提示 1

n

次独立重复试验中

A

发生的次数

X

服从什么分布？

提示 2

「至少一次」用对立事件（一次都不发生）来算更省事。

提示 3

「至多一次」= 发生

0

次 + 发生

1

次，分别写出二项概率再相加。

答案与详解

答案 $1 - (1 - p)^{n}$ ； $[1 + (n - 1) p] (1 - p)^{n - 1}$

思路（为什么这么做）

「

n

次独立试验、每次概率

p

」是二项分布

X \sim B (n, p)

的标志。至少发生一次的反面是一次都不发生，取对立事件避免逐项求和；至多一次就是

P (X = 0) + P (X = 1)

两项之和，直接套二项概率公式即可。

解答

分析：设

n

次独立试验中

A

发生的次数为

X

，则

X \sim B (n, p)

。

至少发生一次：

P {X \geq 1} = 1 - P {X = 0} = 1 - (1 - p)^{n}

。

至多发生一次：

P {X \leq 1} = P {X = 0} + P {X = 1} = (1 - p)^{n} + n p (1 - p)^{n - 1} = (1 - p)^{n - 1} [1 + (n - 1) p] .

1987 年考研数学（一） 第 18 题